Question

如图，已知在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=1/4x²+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B右侧）与y轴交于点c

如图，已知在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=1/4x²+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点c（0，-3），且OA=2OC
(1)求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标
(2)求tan∠MAC的值
(3)如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD=45°，求点D的坐标。

Answer 1

∵y=1/4x²+bx+c过点C（0，-3）
∴0+0+c=-3
∴c=-3
∴y=1/4x²+bx-3

OC=3
OA=2OC=6
抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B右侧）,C点在y轴上，∴A在x正半轴上
∴A（6，0）
将（6，0）代入y=1/4x²+bx-3：
1/4*6²+6b-3=0
b=-1
y=1/4x²-x-3 = 1/4(x-2)²-4
顶点M（2，-4）

MA²=(2-6)²+(-4-0)²=32
MC²=(2-0)²+(-4+3)²=5
AC²=(6-0)²+(0+3)²=45
cos∠MAC=(MA²+AC²-MC²)/(2MA*AC) = (32+45-5)/{2*√32*√45) = 3/√15＞0
tan∠MAC=√(1-cos²∠MAC)/cos∠MAC = √(1-9/15)/(3/√15) = √6/3

D点在对称轴x=2上，令D（2，t）
AD²=(2-6)²+(t-0)²=16+t²
AC²=45
CD²=(2-0)²+(t+3)²=t²+6t+13
CD² = AD²+AC²-2AD*AC*cos∠CAD = AD²+AC²-2AD*AC*cos45°
t²+6t+13 = 16+t² + 45 - 2*√45*√(16+t²)*√2/2
√10*√(16+t²) = 16-2t

160+10t² = 4t²-64t+256
3t²+32t-48=0
(t+12)(3t-4)=0
t1=-12，t2=4/3
D（2，-12），或D（2，4/3）