Question

数学题 求解 要过程 谢谢

Answer 1

解:(1)由已知得 c=√3 且b^2/a=1/2 且 a^2=b^2+c^2
解得 a=2,b=1,c=√3

所以 椭圆方程是 x^2/4+y^2=1

(2) 设AB的中点M(m,n).(mn≠0) 则由已知M在椭圆内,且不是原点.

椭圆方程是 x^2/4+y^2=1 (1)
它关于M(m,n)的对称椭圆方程是 (2m-x)^2/4+(2n-y)^2=1 (2)
根据曲线系原理:(1)-(2)并化简得AB直线的方程
mx+4ny-(m^2+4n^2)=0

AB直线过F2(√3,0)得: m^2+4n^2=√3m 其中m∈(0,√3) (因n^2>0)
AB的中垂线方程是4nx-my-3mn=0 它与x轴交于N(3m/4,0)
而3m/4∈(0,3√3/4), 即N在线段OF2上。

则N就是满足条件的C点.即C(3m/4,0), m∈(0,√3)
事实上,此时C是AB中垂线上的点,且不在AB上,以CA、CB为邻边的平行四边形一定是菱形。

(3) 假设满足条件的k存在.
由(2) k=-m/(4n) D(2m,2n)

有(2m)^2+4(2n)^2-4=0
即 m^2+4n^2=1
又由(2)中 m^2+4n^2=√3m

得m=1/(√3), n=-1/(√6)或 n=1/(√6)
k=(-√2)/4 或 k=(√2)/4

所以 当k=(-√2)/4 或 k=(√2)/4时
存在菱形CADB,其D在椭圆上。

(难度比较大的一道题,我给你提供的是一种相对比较简捷的方法)
希望能帮到你！

Answer 2

老一套：设直线-----联立----韦达定理