Question

如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm

如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE= AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？

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Answer 1

（1）△ABC≌△CDA， ∴AD=BC，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 （2）从运动开始经过2s或 s或 s或 s时，△BEP为等腰三角形

试题分析：（1）证明：∵在△ABC和△CDA中 ∴△ABC≌△CDA， ∴AD=BC，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）解：∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′ 由勾股定理得：AC=4cm， 即AB、CD间的最短距离是4cm， ∵AB=3cm，AE= AB， ∴AE=1cm，BE=2cm， 设经过ts时，△BEP是等腰三角形， 当P在BC上时， ①BP=EB=2cm， t=2时，△BEP是等腰三角形； ②BP=PE， 作PM⊥AB于M， ∴BM=ME= BE=1cm ∵cos∠ABC= = = ， ∴BP= cm， t= 时，△BEP是等腰三角形； ③BE=PE=2cm， 作EN⊥BC于N，则BP=2BN， ∴cosB= = ， ∴ = ， BN= cm， ∴BP= ， ∴t= 时，△BEP是等腰三角形； 当P在CD上不能得出等腰三角形， ∵AB、CD间的最短距离是4cm，CA⊥AB，CA=4cm， 当P在AD上时，只能BE=EP=2cm， 过P作PQ⊥BA于Q， ∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠QAD=∠ABC， ∵∠BAC=∠Q=90°， ∴△QAP∽△ABC， ∴PQ：AQ：AP=4：3：5， 设PQ=4xcm，AQ=3xcm， 在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1） 2 +（4x） 2 =2 2 ， ∴x= ， AP=5x= cm， ∴t=5+5+3﹣ = ， 答：从运动开始经过2s或 s或 s或 s时，△BEP为等腰三角形． 点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定．全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．