Question

已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，AB=8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个

已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，AB=8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．（1）如图，当AP=3cm时，求y的值；（2）设AP=xcm，试用含x的代数式表示y（cm2）；（3）当y=2cm2时，试确定点P的位置．

Answer 1

（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，AB=8cm，
∴tanA=

BC

AB

=

1

2

，
∵D是AB中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AD=BD=4cm，DE=2cm，
∴Rt△APQ中，AP=3cm，
∴PQ=AP?tanA=3×

1

2

=1.5cm，
∴DN=AN-AD=AP+PN-AD=3+1.5-4=0.5，
∴重合部分的面积应该是y=DN×MN=1.5×0.5=0.75cm²；

（2）当0＜x≤

8

3

，y=0；
当

8

3

＜x≤4，y=

3

4

x2?2x，
当4＜x≤

16

3

，y=x；
当

16

3

＜x＜8，y=16-2x；

（3）当

8

3

＜x≤4时，如果y=2，2=

3

4

x2?2x，解得x=

4+2 10

3

或x=

4?2 10

3

（舍去）；
当4＜x≤

16

3

时，如果y=2，x=2，也不符合题意，
当

16

3

＜x＜8时，如果y=2，2=16-2x，解得x=7，因此当AP=7cm时，y=2cm²．
∴当x=7cm或x=

4+2 10

3

cm时，y=2cm²．