Question

设A是m×n矩阵，若R（A）=r＜n，则n元线性方程组Ax=b（　　）A．不一定有解B．有无穷多解C．有唯一解D．

设A是m×n矩阵，若R（A）=r＜n，则n元线性方程组Ax=b（　　）A．不一定有解B．有无穷多解C．有唯一解D．无解

Answer 1

【答案】A

【解析】

R（A）=r＜n

但是，增广矩阵B=(A b)的秩

R(B)可能等于r+1

此时，方程组无解。

【相关知识】

线性方程组Ax=b有解的充要条件是

R（A）=R（B）

其中，B=(A b)

更进一步，

（1）若R（A）=R（B）=n

则线性方程组Ax=b有唯一解；

（2）若R（A）=R（B）=r＜n

则线性方程组Ax=b有无数解。

Answer 2

假设

.

A

＝

1 0 1 0 1 1 0 0 1

，则r（A）=2＜3，但r(A)＜r(

.

A

)＝3，因此n元线性方程组Ax=b无解；
假设

.

A

＝

1 0 1 0 1 1 0 0 0

，则r(A)＝r(

.

A

)＝2＜3，因此n元线性方程组Ax=b有无穷多解．
故选：A．

Answer 3

选A，r（A）可能不等于r（[A,b]）