Question

已知函数f(x)＝4x?2x+1(x≠?1，x∈R)，数列{an}满足 a1=a（a≠-1，a∈R），an+1=f（an）（n∈N*）．（1）

已知函数f(x)＝4x?2x+1(x≠?1，x∈R)，数列{an}满足 a1=a（a≠-1，a∈R），an+1=f（an）（n∈N*）．（1）若数列{an}是常数列，求a的值；（2）当a1=4时，记bn＝an?2a n?1(n∈N*)，证明数列{bn}是等比数列，并求出通项公式an．

Answer 1

（1）∵f(x)＝

4x?2

x+1

，a1＝a，an+1＝f(an)(n∈N*)，当数列{a_n}是常数列时，a_n+1=a_n=a，即a＝

4a?2

a+1

，解得a=2，或a=1；∴所求实数a的值是1或2．
（2）∵a1＝4，bn＝

an?2

an?1

(n∈N*)，
∴b₁=

2

3

，
∴b_n+1=

an+1?2

an+1?1

=

f(an)?2

f(an)?1

=

4an?2 an+1 ?2

4an?2 an+1 ?1

=

2an?4

3an?3

=

2

3

×

an?2

an?1

，
即bn+1＝

2

3

bn(n∈N*)．
∴数列{b_n}是以b1＝

2

3

为首项，公比为q＝

2

3

的等比数列，
于是bn＝

2

3

(

2

3

)n?1＝(

2

3

)n(n∈N*)．
由bn＝

an?2

an?1

，即

an?2

an?1

＝(

2

3

)n，解得an＝

( 2 3 )n?2

( 2 3 )n?1

(n∈N*)．
∴所求的通项公式an＝

( 2 3 )n?2

( 2 3 )n?1

(n∈N*)．