已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).(Ⅰ)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;(Ⅱ)

已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).(Ⅰ)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;(Ⅱ)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值.... 已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).(Ⅰ)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;(Ⅱ)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值. 展开
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血刃乌鸦s12
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(Ⅰ)当a=-2时,f(x)=x2-2lnx,当x∈(1,+∞),f′(x)=
2(x2?1)
x
>0

故函数f(x)在(1,+∞)上是增函数.
(Ⅱ)f′(x)=
2x2+a
x
(x>0)
,当x∈[1,e],2x2+a∈[a+2,a+2e2].
若a≥-2,f'(x)在[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f'(x)=0),
故函数f(x)在[1,e]上是增函数,此时[f(x)]min=f(1)=1.
若-2e2<a<-2,当x=
?a
2
时,f'(x)=0;当1≤x<
?a
2
时,f'(x)<0,
此时f(x)是减函数;当
?a
2
<x≤e
时,f'(x)>0,此时f(x)是增函数.
故[f(x)]min=f(
?a
2
)
=
a
2
ln(?
a
2
)?
a
2

若a≤-2e2,f'(x)在[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f'(x)=0),
故函数f(x)在[1,e]上是减函数,此时[f(x)]min=f(e)=a+e2
综上可知,当a≥-2时,f(x)的最小值为1,相应的x值为1;
当-2e2<a<-2时,f(x)的最小值为
a
2
ln(?
a
2
)?
a
2
,相应的x值为
?a
2

当a≤-2e2时,f(x)的最小值为a+e2,相应的x值为e
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