Question

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x24?y23＝1．设过点M（0，1）的直线l与双曲线C交于A、B两点，若AM

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x24?y23＝1．设过点M（0，1）的直线l与双曲线C交于A、B两点，若AM＝2MB，则直线l的斜率为±12±12．

Answer 1

解答：解：设直线AB方程为y=kx+1，与双曲线

x2

4

?

y2

3

＝1消去y，
得（3-4k²）x²-8kx-16=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根与系数的关系，得

x1+x2＝ 8k 3?4k2 x1x2＝ ?16 3?4k2

…（1）
∵

AM

＝2

MB

，可得x₁=-2x₂，∴代入（1）得

?x2＝ 8k 3?4k2 ?2x22＝ ?16 3?4k2

，
消去x₂得-2（

8k

3?4k2

）²=

?16

3?4k2

，解之得k²=

1

4

，得k=±

1

2

故答案为：±

1

2