Question

如图，点F1（-c，0）、F2（c，0）分别是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线，

如图，点F1（-c，0）、F2（c，0）分别是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线，交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作PF2的垂线交直线x＝a2c于点Q．（1）如果点Q的坐标为（4，4），求椭圆C的方程；（2）试判断直线PQ与椭圆C的公共点个数，并证明你的结论．

Answer 1

解答：解：（1）解方程组

x＝?c x2 a2 + y2 b2 ＝1

得P点的坐标为(?c，

b2

a

)，
∴kPF2＝

b2 a

?c?c

＝?

b2

2ac

，
∵PF₂⊥QF₂，
∴kQF2＝

2ac

b2

，
∴QF2的方程为：y＝

2ac

b2

(x?c)
将x＝

a2

c

代入上式解得y=2a，
∴Q点的坐标为(

a2

c

，2a)；
∵Q点的坐标为（4，4），∴

a2

c

＝4且2a＝4，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1；
（2）∵Q点的坐标为(

a2

c

，2a)，P点的坐标为(?c，

b2

a

)，
∴kPQ＝

2a? b2 a

a2 c ?(?c)

＝

c(2a2?b2)

a(a2+c2)

＝

c

a

，
∴PQ的方程为y?2a＝

c

a

(x?

a2

c

)，
即y＝

c

a

x+a
将PQ的方程代入椭圆C的方程得b2x2+a2(

c

a

x+a)2＝a2b2，
∴（b²+c²）x²+2a²cx+a⁴-a²b²=0①
∵a²=b²+c²
∴方程①可化为a²x²+2a²cx+a²c²=0
解得x=-c
∴直线PQ与椭圆C只有一个公共点．