Question

已知函数f（x）=lnx-ax2-（1-2a）x（a＞0）（1）求f（x）的最大值；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（1ea，2

已知函数f（x）=lnx-ax2-（1-2a）x（a＞0）（1）求f（x）的最大值；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（1ea，2）上的零点的个数（e自然对数的底数）．

Answer 1

（1）∵函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=-

(x?1)(2ax+1)

x

，
∵x＞0，a＞0，∴2ax+1＞0，
∴0＜x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴x=1时，f（x）_最大值=f（1）=a-1；
（2）由（1）得，x=1时，f（x）的最大值是a-1，
①0＜a＜1时，f（1）＜0，函数f（x）与x轴没有交点，故函数f（x）没有零点，
②a=1时，f（10=0，若x≠1，则f（x）＜f（1），即f（x）＜0，且x=1∈（

1

e

，2），
此时，函数f（x）与x轴只有一个交点，故函数f（x）只有一个零点，
③a＞1时，f（1）＞0，又f(

1

ea

)=-a(

1

ea

?1)2-

1

ea

＜0，f（2）=ln2-2＜0，
函数f（x）与x轴有2个交点，故函数f（x）有2个零点，
综上：0＜a＜1时，f（x）没有零点，a=1时，f（x）有1个零点，a＞1时，f（x）有2个零点．