Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2+1x．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）判断并证明函

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2+1x．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）判断并证明函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，
∴对定义域R内任意的x，都有f（-x）=-f（x）--（1分）
令x=0得，f（0）=-f（0），即f（0）=0--------------（3分）
又当x＞0时，-x＜0，此时f(x)＝?f(?x)＝?[(?x)2+(

1

?x

)]＝?x2+

1

x

---（5分）
综合可得：f(x)＝

x2+ 1 x ，x＜0 0，x＝0 ?x2+ 1 x ，x＞0

--------（7分）
（Ⅱ） 函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，下面给予证明．-----------（8分）
设0＜x₁＜x₂，则f(x1)?f(x2)＝(?

x

2 1

+

1

x1

)?(?

x

2 2

+

1

x2

)
=(x2?x1)?(x2+x1+

1

x1x2

)-----（10分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x2?x1＞0，x2+x1＞0，

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）---（13分）
故函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．------------（14分）