Question

三角形ABC是边长为1的等边三角形，BD等于CD,角BDC等于120度，E.F分别在AB.AC上，且角EDF等于60度，

求三角形AEF的周长

Answer 1

（1）证明：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，
∵在△NBD和△FCD中，

BD＝DC
∠NBD＝∠FCD＝90°
BN＝CF ，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中，

DE＝DE
∠EDF＝∠EDN
DN＝DF ，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，
即BE+CF=EF．

∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴AB=AC=1，
∵BE+CF=EF，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=2．

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