Question

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G。（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径。

Answer 1

解：（1）∵CH⊥AB，DB⊥AB， ∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF， ∴ ， ∵HE=EC， ∴BF=FD； （2）连接CB、OC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵F是BD中点， ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO， ∴∠OCF=90°， ∴CG是⊙O的切线； （3）由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC， 可证得：FA=FG，且AB=BG， 由切割线定理得：（2+FG） 2 =BG×AG=2BG 2    ①， 在Rt△BGF中， 由勾股定理得：BG 2 =FG 2 -BF 2 　② 由①、②得：FG 2 -4FG-12=0， 解之得：FG 1 =6，FG 2 =-2（舍去） ∴AB=BG= ， ∴⊙O半径为2 。