Question

已知函数f（x）=x 2 -alnx（常数a＞0），g（x）=e x -x．（1）证明：e a ＞a；（2）当a＞2e时，讨论函数f

已知函数f（x）=x 2 -alnx（常数a＞0），g（x）=e x -x．（1）证明：e a ＞a；（2）当a＞2e时，讨论函数f（x）在区间（1，e a ）上零点的个数（e为自然对数的底数）．

Answer 1

（1）证明：得g′（x）=e x -1，令g′（x）=0得到x=0 当x＞0时，g′（x）=e x -1＞1-1=0， ∴g（x）在[0，+∞）上是增函数， 又a＞0，得g（a）＞g（0）=1＞0． 所以，e a -a＞0，即e a ＞a． （2）因为 f′(x)=2x- a x = 2 x 2 -a x = 2(x- 2a 2 )(x+ 2a 2 ) x ． 当 0＜x＜ 2a 2 时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 当 x＞ 2a 2 时，f′（x）＞0，f（x）为增函数． ∴ f(x ) min =f( 2a 2 )= a 2 (1-ln a 2 ) ． 又由（1）得 a 2 ＜a＜ e a ＜ e 2a (a≥0，a＜2a)? 2a 2 ＜ e a ， 且当a＞2e时， 2a 2 ＞ e ＞1 ，有 1＜ 2a 2 ＜ e a ． 而f（1）=1＞0，f（e a ）=e 2a -a 2 =（e a -a）（e a +a）＞0， 当a＞2e时， f(x ) min =f( 2a 2 )= a 2 (1-ln a 2 )＜0 ， 所以，当a＞2e时，函数f（x）在（1，e a ）上有两个零点．