Question

已知：△ABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q

已知：△ABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点（1）观察图中是否有全等三角形？若有，直接写出：（ ）；（写出一对即可）（2）求∠BQM的度数。

Answer 1

解：（1）有全等三角形，△ABM≌△BCN，△ACM≌△BAN， ①△ABM≌△BCN，证明如下： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°， ∵在△ABM与△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN（SAS） ②△ACM≌△BAN，证明如下： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°， ∴180°﹣∠BAC=180°﹣∠ACB， 即∠BAN=∠ACM， ∵BM=CN， ∴BM﹣BC=CN﹣AC， 即CM=AN， ∵在△ACM与△BAN中， ， ∴△ACM≌△BAN（SAS）； （2）根据（1）可得△ABM≌△BCN， ∴∠M=∠N， 根据三角形的外角性质，∠M+∠CAM=∠ACB=60°，∠BQM=∠N+∠NAQ， 又∵∠CAM=∠NAQ（对顶角相等）， ∴∠BQM=∠ACB=60°。