Question

如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足为D。 （1）求证：∠EAC＝∠CAB；（2）若C

如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足为D。 （1）求证：∠EAC＝∠CAB；（2）若CD＝4，AD＝8：①求O的半径；②求tan∠BAE的值。

Answer 1

（1）证明见解析（2）①5，②

（1）证明：连接OC。  ∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC。 又∵CD⊥AE，∴OC∥AE。∴∠1＝∠3。 ∵OC＝OA，∴∠2＝∠3。 ∴∠1＝∠2，即∠EAC＝∠CAB。 （2）解：①连接BC。 ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D， ∴∠ACB＝∠ADC＝90°。 ∵∠1＝∠2，∴△ACD∽△ABC。∴ 。 ∵AC 2 ＝AD 2 ＋CD 2 ＝4 2 ＋8 2 ＝80， ∴AB＝ ＝10。 ∴⊙O的半径为10÷2＝5。 ②连接CF与BF。 ∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC＋∠AFC＝180°。 ∵∠DFC＋∠AFC＝180°，∴∠DFC＝∠ABC。 ∵∠2＋∠ABC＝90°， ∠DFC＋∠DCF＝90°， ∴∠2＝∠DCF。 ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCF。 ∵∠CDF＝∠CDF，∴△DCF∽△DAC。∴ 。∴DF＝ ＝2。 ∴AF＝AD－DF＝8－2＝6。 ∵AB是⊙O的直径，∴∠BFA＝90°。 ∴BF＝ ＝8。∴tan∠BAD＝ 。     （1）连接OC，由CD是⊙O的切线，CD⊥OC，又由CD⊥AE，即可判定OC∥AE，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得∠EAC=∠CAB。 （2）①连接BC，易证得△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长， 从而可得⊙O的半径长。 ②连接CF与BF．由四边形ABCF是⊙O的内接四边形，易证得△DCF∽△DAC，然后根据 相似三角形的对应边成比例，求得AF的长，又由AB是⊙O的直径，即可得∠BFA是直角，利用勾股定理求得BF的长，即可求得tan∠BAE的值。