Question

已知a∈R，给出下面两个命题：命题p：“在x∈[1，2]内，不等式x 2 +2ax-2＞0恒成立”；命题q：“关于x的

已知a∈R，给出下面两个命题：命题p：“在x∈[1，2]内，不等式x 2 +2ax-2＞0恒成立”；命题q：“关于x的不等式（a 2 -1）x 2 +（a-1）x-2＞0的解集为空集”；当p、q中有且仅有一个为真命题时，求实数a的取值范围．

Answer 1

∵x∈[1，2]时，不等式x 2 +2ax-2＞0恒成立 ∴2a ＞ 2- x 2 x = 2 x - x ， 在x∈[1，2]上恒成立， 令g（x）= 2 x - x ， 则g（x）在[1，2]上是减函数，g（x） max =g（1）=1， ∴2a＞1．∴若命题p真，则a＞ 1 2 ， 当命题q真时，a应满足a=1或 a 2 -1＜0 △≤0 ，解得 - 7 9 ≤a≤1 ， ∴当p、q中有且仅有一个为真命题时，即 a＞ 1 2 a＞1或a＜- 7 9 或 a≤ 1 2 - 7 9 ≤a≤1 ， ∴ a∈[- 7 9 ， 1 2 ]∪(1，+∞) ．