Question

已知函数f（x）=lnx-ax+2x（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ

已知函数f（x）=lnx-ax+2x（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域内是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f(x)＝lnx?x+

2

x

∴f（1）=1，
∴切点为（1，1）
∵f′(x)＝

1

x

?1?

2

x2

＝

?x2+x?2

x2

∴f′（1）=-2
∴切线方程为y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0．
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝

1

x

?a?

2

x2

∵函数y=f（x）在定义域内是减函数
∴f′(x)＝

1

x

?a?

2

x2

≤0在（0，+∞）上恒成立，即a≥

1

x

?

2

x2

＝

x?2

x2

在（0，+∞）上恒成立，
设g(x)＝

x?2

x2

，x∈（0，+∞），g′(x)＝

x2?(x?2)?2x

x4

＝

?x2+4x

x4

令g′（x）=0得x₁=0（舍去），x₂=4
∵x∈（0，4）时g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（4，+∞）时g′（x）＜0，g（x）单调递减
∴g(x)max＝g(4)＝

1

8

，
∴a≥

1

8

．