Question

（2000?天津）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°．（1）

（2000?天津）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°．（1）证明：C1C⊥BD；（2）假定CD=2，CC1=32，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α-BD-β的平面角的余弦值；（3）当CDCC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．





Answer 1

解：（1）证明：如图：
连接AC、设AC和BD交于O，连接C₁O
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD=CD．
又∵∠BCC₁=∠DCC₁，C₁C=C₁C，
∴△C₁BC≌△C₁DC
∴C₁B=C₁D，
∵DO=OB
∴C₁O⊥BD，
但AC⊥BD，AC∩C₁O=O，
∴BD⊥平面AC₁C，
又C₁C?平面AC₁C
∴C₁C⊥BD．
（2）解：由（1）知AC⊥BD，C₁O⊥BD，
∴∠C₁OC是二面角α-BD-β的平面角．
在△C₁BC中，BC=2，C₁C=

3

2

，∠BCC₁=60°，
∴C₁B²=2²+（

3

2

）²-2×2×

3

2

×cos60°=

13

4

∵∠OCB=30°，
∴OB=

1

2

BC=1．
∴C₁O²=C₁B²-OB²=

13

4

?1＝

9

4

，
∴C₁O=

3

2

即C₁O=C₁C．
作C₁H⊥OC，垂足为H．
∴点H是OC的中点，且OH=

3

2

，
所以cos∠C₁OC=

OH

C1O

=

3

3

．
（3）如图：
当

CD

CC1

=1时，能使A₁C⊥平面C₁BD
由（1）知，BD⊥平面AC₁C，
∵A₁C?平面AC₁C，∴BD⊥A₁C
当

CD

CC1

=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，
同BD⊥A₁C的证法可得BC₁⊥A₁C，
又BD∩BC₁=B，
∴A₁C⊥平面C₁BD．