Question

（2010?眉山）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点

（2010?眉山）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=23x2+bx+c经过B点，且顶点在直线x=52上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的前提下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=

2

3

x2+bx+c的顶点在直线x=

5

2

上，
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y=

2

3

(x?

5

2

)2+m（1分）
∵点B（0，4）在此抛物线上，
∴4=

2

3

×(?

5

2

)2+m
∴m=-

1

6

（3分）
∴所求函数关系式为：y=

2

3

(x?

5

2

)2-

1

6

=

2

3

x2-

10

3

x+4（4分）

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=5
∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5（5分）
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；（6分）
当x=5时，y=

2

3

×5²-

10

3

×5+4=4
当x=2时，y=

2

3

×2²-

10

3

×2+4=0
∴点C和点D在所求抛物线上；（7分）

（3）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b′，
则

5k+b′＝4 2k+b′＝0

；
解得：

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