Question

已知a＞0，函数f(x)＝ax+lnx?1（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；

已知a＞0，函数f(x)＝ax+lnx?1（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；（Ⅱ）设数列{an}的通项an＝1n，Sn是前n项和，证明：Sn-1＜lnn（n≥2）．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：求导函数，令其等于0，即f′(x)＝

1

x

?

a

x2

＝0，可得x=a
若a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]是减函数，∴f(x)min＝f(e)＝

a

e

；
0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，a]是减函数，[a，e]是增函数，∴f（x）_min=f（a）=lna；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，a=1时，函数f（x）在定义域的最小值为0，∴lnx＞1?

1

x

在[1，+∞）上成立
令x＝

k+1

k

得  ln(k+1)?lnk＞

1

k+1

令k=1，2，3，…，（n-1），可得ln2?ln1＞

1

2

，ln3?ln2＞

1

3

，…，lnn?ln(n?1)＞

1

n

∵数列{a_n}的通项an＝

1

n

，S_n是前n项和，∴叠加，可得S_n-1＜lnn（n≥2）