Question

在一张长方形ABCD纸张中，AB=25cm，AD=20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题?（1）如图

在一张长方形ABCD纸张中，AB=25cm，AD=20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题?（1）如图1，折痕为DE，点A的对应点F在CD上，则折痕DE的长为202202cm；（2）如图2，H、G分别为BC、AD的中点，点A的对应点F在HG上，折痕为DE，求重叠部分（△DEF）的面积；（3）如图3，在图2中，把长方形ABCD沿着HG剪开，变成两张长方形纸片，将这两张纸按图形位置任意叠合后，发现重叠部分都是菱形，显然，这些菱形中周长最短是40cm．是否存在叠后周长最大的菱形？若存在，请求出叠合后周长最大的菱形的周长和面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）∵四边形ADFE是正方形，
∴DE=

AD2+AE2

=

202+202

=20

2

（cm）；
故答案为：20

2

；

（2）由折叠的性质可知，AD=DF，
∵GH分别是AD、BC的中点，
∴GD=

1

2

AD=

1

2

DF
∴在Rt△DGE中，∠GFD=30°，∠GDF=60°，
∵∠GDE=∠EDF，
∴∠EDA=30°．
∴在Rt△ADE中，tan∠EDA=

AE

AD

，
∴AE=AD?tan30°=

20 3

3

∴S_△DEF=

1

2

AE?AD=

1

2

×20×

20 3

3

=

200 3

3

；

（3）最大的菱形如图所示：
设GK=x，则HK=25-x，
x²=（25-x）²+10²，
解得x=

29

2

，
则菱形的周长为58cm，
此时菱形的面积S=

29

2

×10=145．