Question

已知函数f（x）=x3-3ax+b，（a，b∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）曲线y=f（x）在x=0处的切线方

已知函数f（x）=x3-3ax+b，（a，b∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为3ax+y-2a=0，且y=f（x）与x轴有且只有一个公共点，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的导数f'（x）=3x²-3a，
（1）当a≤0时，f'（x）≥0恒成立，此时f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
（2）当a＞0时，令f'（x）=0，得x＝±

a

，
令f'（x）＞0，得x＜?

a

或x＞

a

，
令f'（x）＜0，得?

a

＜x＜

a

，
∴f（x）在(?∞，?

a

)和(

a

，+∞)上是增函数，
在[?

a

，

a

]上是减函数；
（Ⅱ）∵f'（0）=-3a，f（0）=b，
∴曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y-b=-3ax，
即3ax+y-b=0，
∴b=2a，
∴f（x）=x³-3ax+2a，
由（Ⅰ）知，
（1）当a≤0时，f（x）在区间（-∞，+∞）单调递增，所以题设成立，
（2）当a＞0时，f（x）在x＝?

a

处达到极大值，在x＝

a

处达到极小值，
此时题设成立等价条件是f(?

a

)＜0或f(

a

)＞0，
即：(?

a

)3?3a(?

a

)+2a＜0或(

a

)3?3a(

a

)+2a＞0
即：?a

a

+3a

a

+2a＜0或a

a

?3a

a

+2a＞0，
解得：0＜a＜1，
由（1）（2）可知a的取值范围是（-∞，1）．