Question

设f（x）是R上的奇函数，且对任意的实数a，b当a+b≠0时，都有f(a)+f(b)a+b＞0（1）若a＞b，试比较f（a）

设f（x）是R上的奇函数，且对任意的实数a，b当a+b≠0时，都有f(a)+f(b)a+b＞0（1）若a＞b，试比较f（a），f（b）的大小；（2）若存在实数x∈[12，32]使得不等式f（x-c）+f（x-c2）＞0成立，试求实数c的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴

f(a)?f(b)

a?b

＝

f(a)+f(?b)

a+(?b)

＞0，
又∵a＞b，∴a-b＞0，∴f（a）-f（b）＞0，
即f（a）＞f（b）…（6分）
（2）由（1）知，a＞b时，都有f（a）＞f（b），
∴f（x）在R上单调递增，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x-c）+f（x-c²）＞0等价于f（x-c）＞f（c²-x）
∴不等式等价于x-c＞c²-x，即c²+c＜2x，
∵存在实数x∈[

1

2

，

3

2

]使得不等式c²+c＜2x成立，
∴c²+c＜3，即c²+c-3＜0，
解得，?

1+ 13

2

＜c＜

13 ?1

2

，
故c的取值范围为(?

1+ 13

2

，

13 ?1

2

)．