Question

如图，已知：在⊙O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是 上一点，连接AF交CE于H，连

如图，已知：在⊙O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是 上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD。（1）求证：△ACH∽△AFC；（2）猜想：AH·AF与AE·AB的数量关系，并证明你的猜想；（3）探究：当点E位于何处时，S △AEC ：S △BOD =1：4？并加以说明。

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Answer 1

解：（1）∵直径AB⊥CD， ∴ ∴∠F=∠ACH， 又∠CAH=∠FAC， ∴△ACH∽△AFC；
（2）AH·AF=AE·AB， 连接FB， ∵AB是直径， ∴∠AFB=∠AEH=90°， 又∠EAH=∠FAB， ∴Rt△AEH∽Rt△AFB， ∴ ∴AH·AF=AE·AB；
（3）当 （或 ）时，S △AEC ∶S △BOD =1∶4， ∵直径AB⊥CD， ∴CE=ED， ∵ ， ∴ ∵⊙O的半径为2， ∴ ∴ 。