Question

设{a n }是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n 是其前n项和．记 b n = n S n n 2

设{a n }是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n 是其前n项和．记 b n = n S n n 2 +c ，n∈N * ，其中c为实数．（1）若c=0，且b 1 ，b 2 ，b 4 成等比数列，证明： S nk = n 2 S k （k，n∈N * ）；（2）若{b n }是等差数列，证明：c=0．

Answer 1

证明：（1）若c=0，则a n =a 1 +（n-1）d， S n = n[(n-1)d+2a] 2 ， b n = n S n n 2 = (n-1)d+2a 2 ． 当b 1 ，b 2 ，b 4 成等比数列时，则 b 2 2 = b 1 b 4 ， 即： (a+ d 2 ) 2 =a(a+ 3d 2 ) ，得：d 2 =2ad，又d≠0，故d=2a． 因此： S n = n 2 a ， S nk =(nk ) 2 a= n 2 k 2 a ， n 2 S k = n 2 k 2 a ． 故： S nk = n 2 S k （k，n∈N*）． （2） b n = n S n n 2 +c = n 2 (n-1)d+2a 2 n 2 +c = n 2 (n-1)d+2a 2 +c (n-1)d+2a 2 -c (n-1)d+2a 2 n 2 +c = (n-1)d+2a 2 - c (n-1)d+2a 2 n 2 +c ．  ① 若{b n }是等差数列，则{b n }的通项公式是b n =A n +B型． 观察①式后一项，分子幂低于分母幂， 故有： c (n-1)d+2a 2 n 2 +c =0 ，即 c (n-1)d+2a 2 =0 ，而 (n-1)d+2a 2 ≠0 ， 故c=0． 经检验，当c=0时{b n }是等差数列．