Question

对于实数a和b，定义运算“*”：a*b= a 2 -ab，a≤b b 2 -ab，a＞b

对于实数a和b，定义运算“*”：a*b= a 2 -ab，a≤b b 2 -ab，a＞b 设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x 1 ，x 2 ，x 3 ，则x 1 x 2 x 3 的取值范围是______．

Answer 1

∵2x-1≤x-1时，有x≤0， ∴根据题意得f（x）= (2x-1) 2 -(2x-1)(x-1)x≤0 (x-1) 2 -(2x-1)(x-1)x＞0 即f（x）= 2 x 2 -xx≤0 - x 2 +xx＞0 画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是（0， 1 4 ）， 当-x 2 +x=m时，有x 1 x 2 =m， 当2x 2 -x=m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到 x 3 = 1- 1+8m 4 ， ∴x 1 x 2 x 3 =m（ 1- 1+8m 4 ）= m-m 1+8m 4 ，m∈（0， 1 4 ） 令y= m-m 1+8m 4 ， 则 y ′ = 1 4 (1- 1+8m - 4m 1+8m ) ，又 h(m)= 1+8m? + 4m 1+8m? 在m∈（0， 1 4 ）上是增函数，故有h（m）＞h（0）=1 ∴ y ′ = 1 4 (1- 1+8m - 4m 1+8m ) ＜0在m∈（0， 1 4 ）上成立， ∴函数y= m-m 1+8m 4 在这个区间（0， 1 4 ）上是一个减函数， ∴函数的值域是（f（ 1 4 ），f（0）），即 ( 1- 3 16 ，0) 故答案为： ( 1- 3 16 ，0)