Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n-an，n∈N*．（Ⅰ）证明数列{an-1}是等比数列；（Ⅱ）设cn=-2nan+2n

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n-an，n∈N*．（Ⅰ）证明数列{an-1}是等比数列；（Ⅱ）设cn=-2nan+2n，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜4．

Answer 1

（Ⅰ）∵n=1时，S₁=1-a₁，即a₁=1-a₁，a₁=

1

2

．
∵S_n=n-a_n，∴S_n-1=n-1-a_n-1，n＞1．
两式相减，得a_n=

1

2

a_n-1+

1

2

．…（3分）
a_n-1=

1

2

（a_n-1-1）．
从而{a_n-1}为等比数列，首项a₁-1=-

1

2

，公比为

1

2

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n-1=?

1

2

(

1

2

)n?1．从而a_n=?(

1

2

)n+1．…（8分）
∵c_n=-2na_n+2n，∴Cn＝?2n(?(

1

2

)n+1)+2n=?2n(

1

2

)n，
∴Tn＝2[

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n]．…（10分）
从而

1

2

Tn＝2[ (

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+n×(

1

2

)n+1]，
两式相减，得

1

2

Tn＝2[(

1

2

)1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]．
Tn＝4×

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