Question

如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP

如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP，连接AQ，线段AQ交BC于点D，设AP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域； （2）如图2，连接CQ，当△CDQ和△ADB相似时，求x的值； （3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边AB上时，求AP的长．

Answer 1

解：（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．
由题意，可知△APQ是等腰直角三角形，
∴AQ＝

2

x；
∵∠CAB=90°，∠QAP=45°，
∴∠CAD=45°，
∵DM⊥AC，
∴△DAM是等腰直角三角形，
易得△CMD∽△CAB，
∴

CM

DM

＝

CA

AB

＝

3

4

；
设CM=3a，DM=4a，
∴AM=4a，
∴a=

3

7

，DM＝AM＝

12

7

，
∴AD＝

12

7

2

，
∴y＝

2

x?

12

7

2

．
定义域是：

12

7

≤x≤4．
（注：其它解法参照评分．）

（2）∵∠CDQ=∠ADB，
∴当△CDQ和△ADB相似时，分以下两种情况：
①当∠QCD=∠B时，
∴CQ∥AB，
四边形CAPQ是正方形；
∴x=AP=AC=3． 
②当∠QCD=∠QAB时，
∴

CD

AD

＝

QD

BD

，
由上述（1）的解法，可得CD＝

15

7

，BD＝

20

7

，
∴

12

7

2

y＝

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