如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP
如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP，连接AQ，线段AQ交BC于点D，设...
如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP，连接AQ，线段AQ交BC于点D，设AP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域； （2）如图2，连接CQ，当△CDQ和△ADB相似时，求x的值； （3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边AB上时，求AP的长．
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解：（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．由题意，可知△APQ是等腰直角三角形，
∴AQ＝
| 2 |
∵∠CAB=90°，∠QAP=45°，
∴∠CAD=45°，
∵DM⊥AC，
∴△DAM是等腰直角三角形，
易得△CMD∽△CAB，
∴
| CM |
| DM |
| CA |
| AB |
| 3 |
| 4 |
设CM=3a，DM=4a，
∴AM=4a，
∴a=
| 3 |
| 7 |
| 12 |
| 7 |
∴AD＝
| 12 |
| 7 |
| 2 |
∴y＝
| 2 |
| 12 |
| 7 |
| 2 |
定义域是：
| 12 |
| 7 |
（注：其它解法参照评分．）
（2）∵∠CDQ=∠ADB，
∴当△CDQ和△ADB相似时，分以下两种情况：
①当∠QCD=∠B时，
∴CQ∥AB，
四边形CAPQ是正方形；
∴x=AP=AC=3．
②当∠QCD=∠QAB时，
∴
| CD |
| AD |
| QD |
| BD |
由上述（1）的解法，可得CD＝
| 15 |
| 7 |
| 20 |
| 7 |
∴
| 12 |
| 7 |
| 2 |
|
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