Question

设f（x）=loga（1+x）+loga（3-x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域．（2）求f

设f（x）=loga（1+x）+loga（3-x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域．（2）求f（x）在区间[0，32]上的最大值．

Answer 1

（1）∵f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x）（a＞0，a≠1），
∴f（1）=log_a2+log_a2=2log_a2=2，
∴a=2；
∴f（x）=log₂（1+x）+log₂（3-x），
∴

1+x＞0 3?x＞0

，
解得-1＜x＜3；
∴f（x）的定义域是（-1，3）．
（2）∵f（x）=log₂（1+x）+log₂（3-x）=log₂（1+x）（3-x）=log₂[-（x-1）²+4]，
且x∈（-1，3）；
∴当x=1时，f（x）在区间[0，

3

2

]上取得最大值，是log₂4=2．