Question

设0＜xn＜3，xn+1＝xn(3?xn)（n=1，2，3，…）．证明：数列{xn}的极限存在，并求此极限

设0＜xn＜3，xn+1＝xn(3?xn)（n=1，2，3，…）．证明：数列{xn}的极限存在，并求此极限．

Answer 1

0＜x_n＜3，xn+1＝

xn(3?xn)

（n=1，2，3，…）存在．
xn+1＝

xn(3?xn)

=

9 4 ?( 3 2 ?xn)2

，故0＜xn+1≤

3

2

，0＜xn+2≤

3

2

因此，有数学归纳法可知：对于任意正整数n＞1均有0＜xn≤

3

2

，因此数列{x_n}有界．
又有xn+1?xn＝

xn(3?xn)

?xn=

xn

(

3?xn

?

xn

)
∵对于任意正整数n＞1均有0＜xn≤

3

2

∴对于任意正整数n＞1，0＜xn≤

3

2

≤3?xn＜3．
∴

3?xn

≥

xn

∴x_n+1-x_n≥0即x_n+1≥x_n
故数列{x_n}单调增加．
由单调有界数列必有极限可知数列{x_n}极限存在．
假设数列{x_n}极限为a，即

lim

n→∞

xn＝a，
对xn+1＝

xn(3?xn)

两边取极限可得a＝

a(3?a)

解得a＝

3

2

或a＝0
由于0＜x_n＜3而数列单调增加，因此数列极限

lim

n→∞

xn≥xn＞0
故a＝

3

2

因此

lim

n→∞

xn＝

3

2

．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示