Question

已知二次函数y=x2+mx+m-5，（1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；（2）求当m取何值时，抛

已知二次函数y=x2+mx+m-5，（1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短．

Answer 1

（1）根据b²-4ac与0的大小关系来判断二次函数与x轴交点的个数，
即m²-4×1×（m-5）=m²-4m+20=（m-2）²+16＞0，
所以抛物线总与x轴有两个交点；

（2）设函数与x轴两个交点的值为x₁，x₂，且x₂＞x₁，
x₁+x₂=-m，且x₁?x₂=m-5，
所以（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=m²-4（m-5）=m²-4m+20=（m-2）²+16，
所以当m=2时，x₂-x₁有最小值4，
所以，抛物线与x轴两交点之间的距离最短为4．