Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且 Sn=n2-4n+4．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝an2n，数列{bn}的前n

设数列{an}的前n项和为Sn，且 Sn=n2-4n+4．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝an2n，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：14≤Tn＜1．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=S₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n+4-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5
∵a₁=1不适合上式，
∴an＝

1 n＝1 2n?5 n≥2

（2）证明：∵bn＝

an

2n

＝

1 2  &，n＝1 2n?5 2n ，n≥2

．
当n=1时，T1＝

1

2

，
当n≥2时，Tn＝

1

2

+

?1

22

+

1

23

+…+

2n?5

2n

，①

1

2

Tn＝

1

22

+

?1

23

+

1

24

+…+

2n?7

2n

+

2n?5

2n+1

．②
①-②得：

1

2

Tn＝

1

2

?

2

22

+2(

1

23

+…+

1

2n

)?

2n?5

2n+1

=

1

2

(1?

1

2n?2

)?

2n?5

2n+1

得Tn＝1?

2n?1

2n

(n≥2)，
此式当n=1时也适合．
∴Tn＝1?

2n?1

2n

(n∈N^*）．
∵

2n?1

2n

＞0(n∈N*)，
∴T_n＜1．
当n≥2时，Tn+1?Tn＝(1?

2n+1

2n+1

)?(1?

2n?1

2n

)＝

2n?3

2n+1

＞0，
∴T_n＜T_n+1（n≥2）．
∵T1＝

1

2

，T2＝1?

3

4

＝

1

4

，
∴T₂＜T₁．
故T_n≥T₂，即Tn≥

1

4

(n∈N*)．
综上，

1

4

≤Tn＜1(n∈N*)．