Question

如图所示，皮带传动装置与水平面夹角为30°，两轮轴心相距L=3.8m，A、B分别为传送带与两轮的切点，轮缘与

如图所示，皮带传动装置与水平面夹角为30°，两轮轴心相距L=3.8m，A、B分别为传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑．一个质量为0.1kg的小物块与传送带间的动摩擦因数为μ=36，g取10m/s2．（1）当传送带沿逆时针方向以v1=3m/s的速度匀速运动时，将小物块无初速地放在A点后，它运动至B点需多长时间？（2）当传送带沿逆时针方向匀速运动时，小物块无初速地放在A点下方5cm处的C点，运动至B点飞出．要想使小物块在传送带上运动的时间最短，则传送带匀速运动的速度v2至少多大？以v2运动时，小物块与传送带间的相对路程为多少？

Answer 1

（1）当小物块速度小于3m/s时，小物块受到竖直向下、垂直传送带向上的支持力和沿传送带斜向下的摩擦力作用，做匀加速直线运动，设加速度为a₁，根据牛顿第二定律
mgsin30°+μmgcos30°=ma₁  
代入数据解得 a₁=7.5m/s²                           
当小物块速度等于3m/s时，设小物块对地位移为L₁，用时为t₁，根据匀加速直线运动规律
t₁=

v1

a1

，L₁=

v12

2a1

，
解得 t₁=0.4s                                             
L₁=0.6m
由于L₁＜L 且μ＜tan30°，当小物块速度大于3m/s时，小物块将继续做匀加速直线运动至B点，
设加速度为a₂，用时为t₂，根据牛顿第二定律和匀加速直线运动规律
mgsin30°-μmgcos30°=ma₂
代入数据解得  a₂=2.5m/s²       
根据 L-L₁=v₁t₂+

1

2

a₂t₂²
代入数据解得 t₂=0.8s
故小物块由静止出发从A到B所用时间为 t=t₁+t₂=1.2s                  
（2）传送带匀速运动的速度越大，小物块从A点到B点用时越短，当传送带速度等于某一值v′时，小物块将从A点一直以加速度a₁做匀加速直线运动到B点，所用时间最短，即
L=

1

2

a₁t_min²
解得t_min=1s
v′=a₁t_min=7.5m/s                                               
此时小物块和传送带之间的相对路程为△S=v′t-L=3.75m            
答：（1）小物块无初速地放在A点后，它运动至B点需1.2s．
（2）传送带匀速运动的速度v至少为7.5m/s，小物块与传送带间的相对路程为3.75m．