Question

过点 P (-2,-3)作圆C:( x -4) 2 +( y -2) 2 =9的两条切线,切点分别为 A 、 B .求: (1)经过圆心 C ,切点 A

过点 P (-2,-3)作圆C:( x -4) 2 +( y -2) 2 =9的两条切线,切点分别为 A 、 B .求: (1)经过圆心 C ,切点 A 、 B 这三点的圆的方程;(2)直线 AB 的方程;(3)线段 AB 的长.

Answer 1

(1) 圆的方程 x 2 + y 2 -2 x + y -14="0." (2)两个圆的公共弦所在直线. 6 x +5 y -25=0. (3) | AB |=2|A Q |= .

(1)如图所示,连结 CA 、 CB .由平面几何知, CA ⊥ PA , CB ⊥ PB .这些点 P 、 A 、 C 、 B 共圆,且C P 为直径.这也是过三点 A 、 B 、 C 的圆. ∵ P (-2,-3),圆心坐标为 C (4,2),? ∴所求圆的方程为( x +2)( x -4)+( y +3)( y -2)=0,即 x 2 + y 2 -2 x + y -14=0. (2)直线 AB 即为这两个圆的公共弦所在直线. 由 x 2 + y 2 -2 x + y -14=0与( x -4) 2 +( y -2) 2 =9相减,得6 x +5 y -25=0. (3)设 AB 、 PC 交于点 Q , 则 , . 在Rt△ PCA 中,因为A Q ⊥ PC ,由平面几何知 . | AB |=2|A Q |= .