Question

（2014?铜仁）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC=DC，BC=BD．

（2014?铜仁）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC=DC，BC=BD．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）作CD的平行线AE交⊙O于点E，已知DC=103，求圆心O到AE的距离．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵AC=DC，BC=BD，
∴∠CAD=∠D，∠D=∠BCD，
∴∠CAD=∠D=∠BCD，
∴∠ABC=∠D+∠BCD=2∠CAD，
设∠CAD=x°，则∠D=∠BCD=x°，∠ABC=2x°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴x+2x=90，
x=30，
即∠CAD=∠D=30°，∠CBO=60°，
∵OC=OB，
∴△BCO是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠OCD=180°-30°-60°=90°，
即OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴DC是⊙O的切线；

（2）解：过O作OF⊥AE于F，
∵在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°，CD=10

3

，
∴OC=CD×tan30°=10，
OD=2OC=20，
∴OA=OC=10，
∵AE∥CD，
∴∠FAO=∠D=30°，
∴OF=AO×sin30°=10×

1

2

=5，
即圆心O到AE的距离是5．