Question

设总体X的概率密度为F（X，θ）=θ， 0＜x＜11?θ， 1≤x＜20， 其他，其中θ是未知参数（0＜θ＜1）

设总体X的概率密度为F（X，θ）=θ， 0＜x＜11?θ， 1≤x＜20， 其他，其中θ是未知参数（0＜θ＜1），X1，X2…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1，x2…，xn中小于1的个数，求θ的最大似然估计．

Answer 1

由已知条件，似然函数为：
L（θ）=

θθ…θ

N个

(1?θ)…(1?θ)

n?N个

=θ^N（1-θ）^n-N，
两边取对数得：
ln L（θ）=Nlnθ+（n-N）ln（1-θ），
两边对θ求导可得：

d ln L(θ)

dθ

=

N

θ

+

n?N

1?θ

，
令：

d ln L(θ)

dθ

=0，
可得：θ=

N

n

，
故θ得最大似然估计为：

N

n

．