Question

设随机变量（X，Y）在平面区域D={（x，y）|0＜x＜2，0＜y＜x2}上服从均匀分布．求随机变量Z=XY的概率密度

设随机变量（X，Y）在平面区域D={（x，y）|0＜x＜2，0＜y＜x2}上服从均匀分布．求随机变量Z=XY的概率密度fZ（z）．

Answer 1

解答：解：面积A=

∫

2 0

dx

∫

x2 0

dy＝

8

3

，
则概率密度为f(x，y)＝

3 8 ，0＜x＜2，0＜y＜x2 0，其他

．
求Z的分布函数：F_Z（z）=P（Z≤z）=P（XY≤z）
=

?

xy≤z

f(x，y)dxdy，
如图所示，当0＜z＜8时，F_Z（z）≠0，其他范围均为0．
FZ(z)＝

∫

3 z 0

dx

∫

x2 0

dy+

∫

2 3 z

dx

∫

z x 0

dy
=

1

3

z(1+3ln2?lnz)，
∴fZ(z)＝

1

3

(3ln2?lnz)(0＜z＜8)