Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n∈N*），数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+2（1）求数列{an}、{bn}

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n∈N*），数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+2（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）求数列{an?bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵S_n=2a_n-2，
∴n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an＝2n．
∵数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+2，
∴{b_n}是首项为1，公差为2 的等差数列，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵a_n?b_n=（2n-1）?2ⁿ，
∴Tn＝1?2+3?22+…+(2n?1)?2n，①
2T_n=1?2²+3?2³+…+（2n-1）?2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）?2ⁿ⁺¹
=2+2×

4(1?2n?1)

1?2

-（2n-1）?2ⁿ⁺¹
=-2ⁿ⁺²-（2n-1）?2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（2n+1）?2ⁿ⁺¹+2．