高数 多元函数微分学 "求椭球面x^2 + 2y^2 + z^2 = 1上平行于平面x - y + 2z = 0的切平面方程"
记 F=x^2+2y^2+z^2-1, F'<x>=2x, F'<y>=4y, F'<z>=2z,设切点 (a, b, c), 则 切平面的法向量是 { a, 2b, c},故得 a/1=2b/(-1)=c/2= t, a=t, b=-t/2, c=2t。
由 a^2+2b^2+c^2=1 得 (11/2)t^2=1, 解得 t=±√(2/11),对于 t=√(2/11),a=√(2/11), 2b=-√(2/11),c=2√(2/11),切平面方程是 x-y+2z= √(11/2)。
含义
沿任何直线 y=kx 趋近于原点 (0,0) 时,f趋近于0。然而,当变量x,y沿抛物线 y=x2趋近于原点时,f趋近于0.5。由于沿不同路径取极限时函数值不同,故该函数在原点的极限不存在。
每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件:例如, 含有两个变量的实数函数f(x,y),对于每一个固定的y,f关于x的函数在其定义域内连续。同样的,对于每一个固定的x,f关于y的函数在其定义域也内连续,但这不能说明原函数连续。
记 F=x^2+2y^2+z^2-1, F'<x>=2x, F'<y>=4y, F'<z>=2z,设切点 (a, b, c), 则 切平面的法向量是 { a, 2b, c},故得 a/1=2b/(-1)=c/2= t, a=t, b=-t/2, c=2t。
由 a^2+2b^2+c^2=1 得 (11/2)t^2=1, 解得 t=±√(2/11),对于 t=√(2/11),a=√(2/11), 2b=-√(2/11),c=2√(2/11),切平面方程是 x-y+2z= √(11/2)。
扩展资料
切线方程 a(x-a)+2b(y-b)+c(x-c)=0, 即 ax+2by+cz=1。对于 t=-√(2/11),a=-√(2/11), 2b=√(2/11),c=-2√(2/11),切平面方程是 x-y+2z= -√(11/2)。
简单的多元初等函数——将其他自变量固定,转化为一元函数求导,复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则(画树形图,写求导公式)。
设切点 (a, b, c), 则 切平面的法向量是 { a, 2b, c}
故得 a/1=2b/(-1)=c/2= t, a=t, b=-t/2, c=2t
由 a^2+2b^2+c^2=1 得 (11/2)t^2=1, 解得 t=±√(2/11).
切线方程 a(x-a)+2b(y-b)+c(x-c)=0, 即 ax+2by+cz=1
对于 t=√(2/11),a=√(2/11), 2b=-√(2/11),c=2√(2/11),
切平面方程是 x-y+2z= √(11/2);
对于 t=-√(2/11),a=-√(2/11), 2b=√(2/11),c=-2√(2/11),
切平面方程是 x-y+2z= -√(11/2).