Question

设函数f(x)＝ln(x?1)+2ax(a∈R)（1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果当x＞1，且x≠2时，ln(x?1)x?2＞a

设函数f(x)＝ln(x?1)+2ax(a∈R)（1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果当x＞1，且x≠2时，ln(x?1)x?2＞ax恒成立，则求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可知函数f（x）的定义域为（1，+∞），f′(x)＝

1

x?1

?

2a

x2

＝

x2?2ax+2a

x2(x?1)

，
设g（x）=x²-2ax+2a，△=4a²-8a=4a（a-2），
①当△≤0，即0≤a≤2，g（x）≥0，
∴f′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
②当a＜0时，g（x）的对称轴为x=a，当x＞1时，由二次函数的单调性可知g（x）＞g（1）＞0，
∴f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
③当a＞2时，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程x²-2ax+2a=0的两个根，则x1＝a?

a2?2a

＞1，x2＝a+

a2?2a

，
当1＜x＜x₁或x＞x₂时，f′（x）＞0，f（x）在（1，x₁），（x₂，+∞）上是增函数．
当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，f（x）在（x₁，x₂）上是减函数．
综上可知：当a≤2时，f（x）在（1，+∞）上单调递增；
          当a＞2时，f（x）的单调增区间为（1，x₁），（x₂，+∞），单调递减区间为（x₁，x₂）．
（2）

ln(x?1)

x?2

＞

a

x

可化为

1

x?2

[ln(x?1)+

2a

x

?a]＞0，即

1

x?2

[f(x)?a]＞0，（*）
令h（x）=f（x）-a，由（1）知：
①当a≤2时，f（x）在（1，+∞）上是增函数，所以h（x）在（1，+∞）是增函数．
因为当1＜x＜2时，h（x）＜h（2）=0，∴（*）式成立；
当x＞2时，h（x）＞h（2）=0，∴（*）成立；
所以当a≤2时，（*）成立
②当a＞2时，因为f（x）在（x₁，2）上是减函数，所以h（x）在（x₁，2）上是减函数，所以当x₁＜x＜2时，h（x）＞h（2）=0，（*）不成立．
综上可知，a的取值范围为（-∞，2]．