Question

如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB。 （1）求

如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB。 （1）求证：BC为⊙O的切线；（2）如图②，连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G。若 ，求线段BC和EG的长。

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Answer 1

（1）连接OE，OC，先根据“SSS”证得△OBC≌△OEC，即可得到∠OBC=∠OEC，再根据切线的性质可得∠OEC=90，即可得到∠OBC=90，从而证得结果；（2）BC= ，

试题分析：（1）连接OE，OC，先根据“SSS”证得△OBC≌△OEC，即可得到∠OBC=∠OEC，再根据切线的性质可得∠OEC=90，即可得到∠OBC=90，从而证得结果； （2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得DA=DE，CE=CB，设BC为 ，则CF=x-2，DC=x+2，在Rt△DFC中，根据勾股定理即可列方程求得x的值，根据平行线的性质可得∠DAE=∠EGC，由DA=DE可得∠DAE=∠AED，再结合∠AED=∠CEG即可求得CG=CE=CB= ，再根据勾股定理求得AG的长，然后证得△ADE∽△GCE，根据相似三角形的性质即可求得结果. （1）连接OE，OC，   ∵CB=CE，OB=OE，OC=OC， ∴△OBC≌△OEC， ∴∠OBC=∠OEC， 又∵与DE⊙O相切于点E， ∴∠OEC=90， ∴∠OBC=90， ∴BC为⊙ 的切线； （2）过点D作DF⊥BC于点F， ∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B， ∴DA=DE，CE=CB，设BC为 ，则CF=x-2，DC=x+2， 在Rt△DFC中， ，解得 ， ∵AD∥BG ∴∠DAE=∠EGC， ∵DA=DE ∴∠DAE=∠AED， ∵∠AED=∠CEG， ∴∠ECG=∠CEG。 ∴CG=CE=CB= ∴BG=5， ∴ ∵∠DAE="∠EGC" ，∠AED=∠CEG ∴△ADE∽△GCE， ∴ ， ，解得 . 点评：本题知识点多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，需仔细分析.