Question

已知抛物线C：x 2 =4y，M为直线l：y=-1上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（

已知抛物线C：x 2 =4y，M为直线l：y=-1上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（Ⅰ）当M的坐标为（0，-1）时，求过M，A，B三点的圆的方程；（Ⅱ）证明：以AB为直径的圆恒过点M．

Answer 1

（Ⅰ）当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1， 由 x 2 =4y y=kx-1 ，消y得x 2 -4kx+4=0，（1） 令△=（4k） 2 -4×4=0，解得：k=±1， 代入方程（1），解得A（2，1），B（-2，1）， 设圆心P的坐标为（0，a），由|PM|=|PB|，得a+1=2，解得a=1， 故过M，A，B三点的圆的方程为x 2 +（y-1） 2 =4；     （Ⅱ）证明：设M（x 0 ，-1），由已知得y= x 2 4 ，y′= 1 2 x， 设切点分别为A（x 1 ， x 1 2 4 ），B（x 2 ， x 2 2 4 ）， ∴k MA = x 1 2 ，k MB = x 2 2 ， 切线MA的方程为y- x 1 2 4 = x 1 2 （x-x 1 ），即y= 1 2 x 1 x- 1 4 x 1 2 ， 切线MB的方程为y- x 2 2 4 = x 2 2 （x-x 2 ），即y= 1 2 x 2 x- 1 4 x 2 2 ， 又因为切线MA过点M（x 0 ，-1）， 所以得-1= 1 2 x 0 x 1 - 1 4 x 1 2 ，① 又因为切线MB也过点M（x 0 ，-1）， 所以得-1= 1 2 x 0 x 2 - 1 4 x 2 2 ，② 所以x 1 ，x 2 是方程-1= 1 2 x 0 x- 1 4 x 2 的两实根， 由韦达定理得x 1 +x 2 =2x 0 ，x 1 x 2 =-4， 因为 MA =（x 1 -x 0 ， x 1 2 4 +1）， MB =（x 2 -x 0 ， x 2 2 4 +1）， 所以 MA ? MB =（x 1 -x 0 ）（x 2 -x 0 ）+（ x 1 2 4 +1）（ x 2 2 4 +1） =x 1 x 2 -x 0 （x 1 +x 2 ）+x 0 2 + x 1 2 x 2 2 16 + 1 4 （x 1 2 +x 2 2 ）+1 =x 1 x 2 -x 0 （x 1 +x 2 ）+x 0 2 + x 1 2 x 2 2 16 + 1 4 [（x 1 +x 2 ） 2 -2x 1 x 2 ]+1， 将x 1 +x 2 =2x 0 ，x 1 x 2 =-4代入，得 MA ? MB =0， 则以AB为直径的圆恒过点M．