Question

如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论：DE是⊙O的切线．问：（1）若

如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论：DE是⊙O的切线．问：（1）若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB长为半径的圆仍交BC于D，DE⊥AC的条件不变，那么上述 结论是否成立？请说明理由；（2）如果AB=AC=5cm，sinA= 3 5 ，那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切？

Answer 1

（1）结论成立．理由如下： 如图，连接OD； ∵OD=OB， ∴∠ABC=∠ODB， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ACB=∠ODB， ∴OD ∥ AC； 又∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切线． （2）当圆心O在AB上距B点为3x= 15 8 时，⊙O与AC相切． 如图所示，⊙O与AC相切于F，⊙O与AB相交于G．则OF⊥AC； 在RT△AOF中，sinA=OF：AO=3：5； 设OF=3X，AO=5X，则OB=OG=OF=3X，AG=2X， ∴8x=AB=5， ∴x= 5 8 ，此时OB=3x= 15 8 时， 即当圆心O在AB上距B点为3x= 15 8 时，⊙O与AC相切．