Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．
又∵EF⊥AD，
∴EF为AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴AD⊥BC，∠B=∠C．
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．

（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

EF

BC

＝

AH

AD

，即

EF

10

＝

8?2t

8

，解得：EF=10-

5

2

t．
S_△PEF=

1

2

EF?DH=

1

2

（10-

5

2

t）?2t=-

5

2

t²+10t=-

5

2

（t-2）²+10
∴当t=2秒时，S_△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．

（3）解：存在．理由如下：
①若点E为直角顶点，如答图3①所示，
此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．
∵PE∥AD，∴

PE

AD

＝

BP

BD

，即

2t

8

＝

3t

5

，此比例式不成立，故此种情形不存在；
②若点F为直角顶点，如答图3②所示，
此时PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10-3t．
∵PF∥AD，∴

PF

AD

＝

CP

CD

，即

2t

8

＝

10?3t

5

，解得t=

40

17

；

③若点P为直角顶点，如答图3③所示．
过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．
∵EM∥AD，∴

EM

AD

＝

BM

BD

，即

2t

8

＝

BM

5

，解得BM=

5

4

t，
∴PM=BP-BM=3t-

5

4

t=

7

4

t．
在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE²=EM²+PM²=（2t）²+（

7

4

t）²=

113

16

t²