Question

设函数f(x)=x 3 +3bx 2 +3cx有两个极值点x 1 、x 2 ，且x 1 ∈[-1，0]，x 2 ∈[1，2]，(Ⅰ)求b、c满足的

设函数f(x)=x 3 +3bx 2 +3cx有两个极值点x 1 、x 2 ，且x 1 ∈[-1，0]，x 2 ∈[1，2]，(Ⅰ)求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(b，c)的区域；(Ⅱ)证明：-10≤f(x 2 )≤ 。





Answer 1

(Ⅰ)解： ， 依题意知，方程f′(x)=0有两个根x 1 、x 2 ，且 等价于f′(-1)≥0，f(0)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0， 由此得b、c满足的约束条件为 ， 满足这些条件的点(b，c)的区域为图中阴影部分， (Ⅱ)由题设知 ， 故 ， 于是 ， 由于 ，而由(Ⅰ)知c≤0，故 ， 又由(Ⅰ)知-2≤c≤0，所以 。