Question

已知函数f(x)＝lnx?ax+1?ax?1（a∈R）．（Ⅰ）当a≤12时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=x2-2bx+4

已知函数f(x)＝lnx?ax+1?ax?1（a∈R）．（Ⅰ）当a≤12时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=x2-2bx+4．当a＝14时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f(x)＝lnx?ax+

1?a

x

?1(x＞0)，f′(x)＝

l

x

?a+

a?1

x2

＝

?ax2+x+a?1

x2

(x＞0)
令h（x）=ax²-x+1-a（x＞0）
（1）当a=0时，h（x）=-x+1（x＞0），
当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
（2）当a≠0时，由f′（x）=0，即ax²-x+1-a=0，解得x1＝1，x2＝

1

a

?1．
当a＝

1

2

时x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）单调递减；
当0＜a＜

1

2

时，

1

a

?1＞1＞0，x∈（0，1）时h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
x∈(1，

1

a

?1)时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
x∈(

1

a

?1，+∞)时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
当a＜0时

1

a

?1＜0，当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增；
当a＝

1

2

时x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
当0＜a＜

1

2

时，函数f（x）在（0，1）单调递减，(1，

1

a

?1)单调递增，(

1

a

?1，+∞)单调递减．

（Ⅱ）当a＝

1

4

时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x₁∈（0，2），
有f(x1)≥f(1)＝?

1

2

，
又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），所以?

1

2

≥g(x2)，x₂∈[1，2]，（※）
又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]
当b＜1时，g（x）_min=g（1）=5-2b＞0与（※）矛盾；
当b∈[1，2]时，g（x）_min=g（b）=4-b²≥0也与（※）矛盾；
当b＞2时，g(x)min＝g(2)＝8?4b≤?

1

2

，b≥

17

8

．
综上，实数b的取值范围是[

17

8

，+∞)．