Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．（1）点D在线段PQ上，且DQ=DC．求证：CD是⊙O的切线；（2）若sinQ=35，BP=6，AP=1，求QC的长．

Answer 1

证明：（1）连结OC，如图，
∵OC=OB，
∴∠2=∠B，
∵DQ=DC，
∴∠1=∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠Q+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠DCO=180°-∠1-∠2=90°，
∴OC⊥CD，
而OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，cosB=

BC

AB

=

BC

AP+PB

=

3

5

，
而BP=6，AP=1，
∴BC=

21

5

，
在Rt△BPQ中，cosB=

PB

BQ

=

3

5

，
∴BQ=

6

3 5

=10，
∴QC=BQ-BC=10-

21

5

=

29

5

．