Question

设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1

设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|．（Ⅰ）若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；（Ⅱ）若cos∠AF2B=35，求椭圆E的离心率．

Answer 1

（Ⅰ）∵|AB|=4，|AF₁|=3|F₁B|，
∴|AF₁|=3，|F₁B|=1，
∵△ABF₂的周长为16，
∴4a=16，
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=8，
∴|AF₂|=5；
（Ⅱ）设|F₁B|=k（k＞0），则|AF₁|=3k，|AB|=4k，
∴|AF₂|=2a-3k，|BF₂|=2a-k
∵cos∠AF₂B=

3

5

，
∴（4k）²=（2a-3k）²+（2a-k）²-

6

5

（2a-3k）（2a-k），
化简可得a=3k，
∴|AF₂|=|AF₁|=3k，|BF₂|=5k
∴|BF₂|²=|AF₂|²+|AB|²，
∴AF₁⊥AF₂，
∴△AF₁F₂是等腰直角三角形，
∴c=

2

2

a，
∴e=

c

a

=

2

2

．